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丘维声：复习线代的要求和方法
线性代数这门课程的复习要求是: (1) 熟练掌握各种类型计算题的解题方法, 并且要求计算准确无误; (2) 能确切叙述概念的定义; (3) 会叙述学过的定理、推论、命题、性质, 并且对于比较简单的定理、推论、命题、性质的证明要求掌握;(4) 能运用概念和运用学过的定理、推论、命题、性质去做一些较简单的证明题。复习范围以电视课上讲的内容和留的作业为准, 复习范围的细目详见中央广播电视大学印发下去的《线性代数复习提纲》。下面围绕复习的两个目的来谈谈线性代数的复习方法。巩固知识，熟练扎实为了达到巩固知识, 使之熟练、扎实的目的, 复习时可以一章一章地复习, 复习每一章时可大体上 按下述三个步骤进行。第一步, 想一想这一章要研究、解决什么问题, 解决这些问题的基本思路是什么。譬如第四章, 由于相似的矩阵有许多共同的性质, 所以希望在所有与 相似的矩阵中挑一个最简 单的矩阵来研究。于是要问: 一个 级矩阵 能够相似于一个什么样的最简单的矩阵？如何找可逆矩阵 , 使得 就是最简单的矩阵? 这就是第四章的中心问题。解决这问题的基本思路是: 首先 考虑一个 级矩阵 相似于对角矩阵的充分必要条件是什么。经过推导, 得出充分必要条件是: 有 个线性无关的特性向量, 并且以这 个线性无关的特征向量为列向量组的矩阵 就是所求的可逆矩阵, 它使得 为对角矩阵, 这个对角矩阵的主对角元是 的特征值。因此需要会求 的特征值 和特征向量, 会数 有多少个线性无关的特征问量。这些就是本章的关键所在。第二步, 按照复习提纲所列的细目回忆这一章的概念、定理、推论、命题、性质以及计算题的解题 方法。对于各种类型的计算题的解题方法要熟练掌握。对于概念要求能确切地叙述它的定义。譬如, 数域 上的 级矩阵 的特征值和特征向量的定义是: “设 是数域 上的 级矩阵, 如果对于数域 中的一个数 , 存在一个数域 上的非零的 维列向量（即 矩阵) , 使得则 称为 的一个特征值, 称为 的属于特征值 的特征向量。”在这里, 必须指出 是数域 中 的数，若漏掉了“数域 ”，就是不确切; 关于 一定要指出是非零的列向量, 若漏掉了“非零”, 就是 不确切。关于定理、推论、命题、性质, 要记住它们的结论; 需要同学们掌握其证明的定理、推论、命 题、性质，同学们在复习时应当先自己动手证明一遍, 确实想不出怎么证明时，再去翻笔记或书。对于 电视课上讲的例题, 同学们在复习时应当很好看一看, 这些例题或者是为了说明一个定理, 或者是讲出 一种类型的题目的解题方法, 或者是介绍一些解题技巧。第三步, 把电视课上留的作业题挑一部分再做一遍, 可以每种类型的题挑二、三个来做。关于计算题，首先要熟练掌握它的解题方法, 不要把不同类型的计算题的解题方法混淆。其次要保证计算准确无误, 这除了在每一步都细心计算以外, 还必须有验算答案对不对的方法, 用这些方法进 行验算, 以便自己就能有把握地判断自己做的这个题的答案对不对。譬如, 计算一个行列式, 可以用两种方法来算, 比较答案是否一致。解线性方程组, 可以把求得的 解代人原方程组，看它是否适合每个方程。求矩阵 的逆矩阵, 只要验算 是否等于单位矩阵。解矩阵方程 , 只要把求得的 去右乘 , 即 , 看它是否等于 . 求矩阵 的特征值和 特征向量，验算方法是把求得的特征值 与属于的特征向量 相乘, 即 , 看它是否等于 。当矩阵 可以对角化时, 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵, 验算的的方法是, 先求 , 再计算 , 看它是否等于求出来的对角矩阵 ; 或者验算 是否等于 。对于实对称矩阵 , 求正交矩阵 , 使得 为对角矩阵，验算的方法是：先算 是否等于 , 若等于 , 则说明 确是正交矩阵; 再算 是否等于求出来的对角矩阵, 注意因为 是正交矩阵, 所以 ，从而很容易算。二次型经过非退化线性替换 , 化成标准形 , 验算的方法是：计算 , 看它是否等于对角矩阵